Forumet - Hjälp med differentialekvation!

Hjälp med differentialekvation!

105 0 2
sincan:

Någon som kan visa hur man löser differentialekvationen dy/dx=y/2x?


Uppgift:

Differentialekvationen dy/dx = y/(2x)

Söks:

Alla funktioner y(x) som uppfyller differentialekvationen
x, y reella tal

Förutsättningar:

f(x)^(g(x)+h(x)) = (f(x)^g(x))f(x)^h(x)
f(x)^(g(x)h(x)) = (f(x)^g(x))^h(x)

e^ln(f(x)) = f(x)
ln(e^f(x)) = f(x)

D(af(x)) = aD(f(x))
∫(af(x)dx) = a∫(f(x)dx)

D(|x|) = x/|x| = |x|/x
D(f(|x|)) = f'(|x|)x/|x| = f'(|x|)|x|/x
D(|f(x)|) = (f(x)/|f(x)|)D(f(x)) = (|f(x)|/f(x))D(f(x))

D(ln(|x|)) = 1/x = x^(-1)
∫((1/x)dx) = ∫(x^(-1)dx) = ln(|x|)+A [ A godtyckligt reellt tal ]

Lösning:

dy/dx = y/(2x)

dy/dx = (1/2)(1/x)y
dy = (1/2)(1/x)(dx)y
dy/y = (1/2)(1/x)dx
(1/y)dy = (1/2)(1/x)dx

∫((1/y)dy) = ∫((1/2)(1/x)dx)
∫((1/y)dy) = (1/2)∫((1/x)dx)

[ A godtyckligt reellt tal ]

ln(|y|) = (1/2)ln(|x|)+A
2(ln(|y|)) = ln(|x|)+2A
(ln(|y|))2 = ln(|x|)+2A
e^((ln(|y|))2) = e^(ln(|x|)+2A)
(e^ln(|y|))² = (e^ln(|x|))e^(2A)
|y|² = |x|e^(2A)

[ B godtyckligt positivt reellt tal
B = e^(2A) ]

|y|² = |x|B
|y|² = B|x|
|y| = √(B|x|)
|y| = √B√(|x|)

[ C godtyckligt positivt reellt tal
C = √B ]

|y| = C√(|x|)
y = ±C√(|x|)

[ D godtyckligt reellt tal ≠ 0
D = ±C ]

y = D√(|x|)

Kontroll av funktionen y = 0√(|x|):

y = 0√(|x|)

y = 0
dy/dx = 0
y/(2x) = 0/(2x) = 0
dy/dx = y/(2x)

Sant

[ E godtyckligt reellt tal ]

y = E√(|x|)

Resultat:

y = E√(|x|)
E godtyckligt reellt tal

Länkar:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematik
http://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_analys
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialkalkyl
http://sv.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde
http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata
http://sv.wikipedia.org/wiki/Integral
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvation
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvation#Beroende_och_oberoende_variabe...
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvation#Ordning
http://sv.wikipedia.org/wiki/Ordin%C3%A4r_differentialekvation
http://sv.wikipedia.org/wiki/Partiell_differentialekvation
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvation#Linj.C3.A4ra_och_ickelinj.C3.A... tioner
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvationer_av_f%C3%B6rsta_ordningen
http://sv.wikipedia.org/wiki/Differentialekvationer_av_f%C3%B6rsta_ordningen#Dif... variabler