Forumet - Hjälp med matte

Hjälp med matte

83 0 17
Jag håller på med grafer och asymptoter och undrar hur man kan få horizontella asymptoter som på ett bra sätt.

Jag vet att man kan få ut eventuell vertikal asymptot av f(x) genom att räkna ut:
Lim x->+-a (f(x))

där a är det värde f(x) är odefinierat för.

Hur gör man för horizontella asymptoter?

Spana också in:

Melvin97:


Konventionella rätlinjiga horisontella asymptoter i oändligheten till funktionen f(x), existerar om och endast om de respektive reella gränsvärdena lim[x→-∞](f(x)) = a[1] och/eller lim[x→∞](f(x)) = a[2] existerar, i vilka fall dessa asymptoter är de räta linjerna y = a[1] respektive y = a[2].

--------------------------------

Funktionen f(x) = x²/(x-1) är inverterbar enligt följande.

f(x) = x²/(x-1)

[ x-1 ≠ 0

x-1 ≠ 0
x ≠ 1

x ≠ 1 ]

f(x) = x²/(x-1), x ≠ 1

y = f(x)
x = (f^(-1))(y)

f(x) = x²/(x-1), x ≠ 1
y = f(x)
y = x²/(x-1), x ≠ 1

y = x²/(x-1), x ≠ 1
(x-1)y = x²
xy-y = x²
0 = x²-xy+y
x²-xy+y = 0
x²-yx+y = 0
x²-yx+y+(y/2)² = (y/2)²
x²-yx+(y/2)² = (y/2)²-y
x²-2(y/2)x+(y/2)² = (y/2)²-y
(x-y/2)² = (y/2)²-y

[ (y/2)²-y ≥ 0

(y/2)²-y ≥ 0
y²/2²-y ≥ 0
y²/4-y ≥ 0
y²-4y ≥ 0
y(y-4) ≥ 0

y(y-4) ≥ 0

Fall 1

y ≥ 0
y-4 ≥ 0

y-4 ≥ 0
y ≥ 4

y ≥ 0
y ≥ 4

y ≥ 4

Fall 2

y ≤ 0
y-4 ≤ 0

y-4 ≤ 0
y ≤ 4

y ≤ 0
y ≤ 4

y ≤ 0

Totalt

y ≤ 0 eller y ≥ 4

y ≤ 0 eller y ≥ 4 ]

(x-y/2)² = (y/2)²-y
x-y/2 = ±√((y/2)²-y), y ≤ 0 eller y ≥ 4
x = y/2±√((y/2)²-y), y ≤ 0 eller y ≥ 4

x = y/2±√((y/2)²-y), y ≤ 0 eller y ≥ 4
x = (f^(-1))(y)
(f^(-1))(y) = y/2±√((y/2)²-y), y ≤ 0 eller y ≥ 4

(f^(-1))(y) = y/2±√((y/2)²-y), y ≤ 0 eller y ≥ 4
(f^(-1))(x) = x/2±√((x/2)²-x), x ≤ 0 eller x ≥ 4

[ x ≤ 0 eller x ≥ 4
x ≠ 1

x ≤ 0 eller x ≥ 4 ]

(f^(-1))(x) = x/2±√((x/2)²-x), x ≤ 0 eller x ≥ 4