Forumet - Integral

Integral

118 0 8
Blir inte klok på:

INT [arcsin(x)/x²] dx.

Kommer hit:

INT [arcsin(x)/x²] dx
= -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²))


Sedan är ju frågan hur jag fortsätter med den andra integralen? Jag har försökt att fortsätta integrera partiellt men det verkar inte leda någon vart, och en substitution verkar inte heller fungera [n]
HobGoblin:

INT [arcsin(x)/x²] dx.


Variabelsubstitution

x = siny
dx = cosy dy
arcsin(x) = y
x^2 = sin(y)^2

so: Int[ y cosy / sin^2 (y)] = Partiell integration ger:
y * [-1/sin(y)] - Int[-1/sin(y)]
= -y/sin(y) + Int[1/siny]
= -y/sin(y) + Int[1/(2sin(y/2)cos(y/2))]
= -y/sin(y) + Int[1/2 * cos(y/2)/sin(y/2) * 1/[cos(y/2)^2]]
= -y/sin(y) + ln(|tan y|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|tan (arcsin(x))|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Något sånt får jag det till
Möjligtvis kan det ha smugit in ett "+ eller - fel" någonstans.
HobGoblin:

INT [arcsin(x)/x²] dx
= -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²))


Annan lösning är följande:
Från = -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²)) kör variabelsubstitution
y=1-x^2
dy = -2x dx
dx = - 1/2x dy

= -arcsin(x)/x - INT [1/(2x^2*y)]

Men x^2 = 1-y

= -arcsin(x)/x + INT [1/(2(y-1)*y)] Partialbraksuppdelning
= -arcsin(x)/x + 1/2 * INT[ |1/(y-1) - 1/y ]
= -arcsin(x)/x + 1/2 * (ln(|y-1|) - ln (|1/y|) ] + C
= -arcsin(x)/x + 1/2 * ln((|y-1)/y|) + C
= -arcsin(x)/x + 1/2 * ln((x^2)/(1-x^2)) + C
= -arcsin(x)/x + ln(sqrt[(x^2)/(1-x^2)]) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Vilket är samma lösning som tidigare
myspip:

= -y/sin(y) + ln(|tan y|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|tan (arcsin(x))|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C


Den senaste likheten blir uppenbar om man ritar upp enhetscirkeln med rätvinklig triangel inuti (dvs. hypotenusa´= 1, motstående katet´= x, närliggande = sqrt ( 1- x^2). )

btw, sqrt = Square root of

Spana också in:

HobGoblin:

INT [arcsin(x)²] dx


∫((arcsin(x))²dx) = ?

-1 ≤ x ≤ 1
-pi/2 ≤ y ≤ pi/2
x = sin(y)
y = arcsin(x)

dx/dy = cos(y)
dx = cos(y)dy
(arcsin(x))² = y²
(arcsin(x))²dx = y²cos(y)dy

∫((arcsin(x))²dx) = ∫(y²cos(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = ∫(cos(y)y²dy)
[ ∫(f(y)g(y)dy) = ∫(f(y)dy)g(y)-∫(∫(f(y)dy)D(g(y))dy) ]
∫((arcsin(x))²dx) = ∫(cos(y)dy)y²-∫(∫(cos(y)dy)D(y²)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = sin(y)y²-∫(sin(y)(2y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2∫(sin(y)(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2(∫(sin(y)dy)y-∫(∫(sin(y)dy)D(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2(-cos(y)y)+2∫(-cos(y)(1)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)+2(y)cos(y)-2∫(cos(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)+2(y)cos(y)-2sin(y)+C
[ x² = (sin(y))²
(sin(y))²+(cos(y))² = 1
(cos(y))² = 1-(sin(y))²
(cos(y))² = 1-x²
-pi/2 ≤ y ≤ pi/2
cos(y) ≥ 0
cos(y) = √(1-x²) ]
∫((arcsin(x))²dx) = (arcsin(x))²x+2arcsin(x)√(1-x²)-2x+C

∫((arcsin(x))²dx) = x(arcsin(x))²+2√(1-x²)arcsin(x)-2x+C