Har redovisningsuppgift i Matte D nu och har valt inversa funktioner. Förstår principen, men när det kom till 4:e punkten dog min hjärna.
Så, jag uppskattar alla tips jag kan få!
"Inversen till en funktion f betecknas med f^(-1). Vad är f[f^(-1)(x)] lika med? Använd formeln för derivatan av sammansatt funktion för att visa att Df^(-1)(x))= 1/{f'[f^(-1)(x)]}
Var tvungen att googla för att fräscha upp minnet lite. Definitionen av en invers funktion är just att f(f^-1(x))=x.
Derivata har jag inte hållt på med på flera år, men jag säger till om jag kommer på något.
Antar att det är tänkt att man ska ställa upp att df^-1(f(x))/dx = dx/dx = 1, men längre än så har jag inte kommit än.
dvärgkastarn har rätt.
Uppgift 1
(f^(-1))^(-1)(x)=f(x)
f(f^(-1)(x))=f^(-1)(f(x))=x
Uppgift 2
(f(f^(-1)(x)))'=f'(f^(-1)(x))(f^(-1)(x))'
(f(f^(-1)(x)))'=x'
(f(f^(-1)(x)))'=1
f'(f^(-1)(x))(f^(-1)(x))'=1
(f^(-1)(x))'=1/f'(f^(-1)(x))
Länkar
http://sv.wikipedia.org/wiki/Invers_funktion
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kedjeregeln
http://sv.wikipedia.org/wiki/Sammansatt_funktion
dvärgkastarn:
Derivata har jag inte hållt på med på flera år, men jag säger till om jag kommer på något.
Tack! Säg gärna till om du kommer på 🙂
AndersLkpg:
(f(f^(-1)(x)))'=f'(f^(-1)(x))(f^(-1)(x))'
(f(f^(-1)(x)))'=x'
(f(f^(-1)(x)))'=1
f'(f^(-1)(x))(f^(-1)(x))'=1
(f^(-1)(x))'=1/f'(f^(-1)(x))
Jag blir aningen förvirrad av dina primtecken som är överallt. Säker på att det är korrekt skrivet?
dvärgkastarn:
Var tvungen att googla för att fräscha upp minnet lite. Definitionen av en invers funktion är just att f(f^-1(x))=x.
Kan du på något sätt bevisa det?
NananaBATMAN:
Fråga
Skrivsättet är riktigt. Förlåt om skrivsättet är svårläst.
Uppgift 2
Alternativt skrivsätt
df(f^(-1)(x))/dx=f'(f^(-1)(x))df^(-1)(x)/dx
df(f^(-1)(x))/dx=dx/dx
df(f^(-1)(x))/dx=1
f'(f^(-1)(x))df^(-1)(x)/dx=1
df^(-1)(x)/dx=1/f'(f^(-1)(x))
NananaBATMAN:
Kan du på något sätt bevisa det?
Nja, vad jag såg så var det så som funktionen definierades så det blir ju lite svårt. Men Anders svar kanske hjälper?
Åhh, ta mig i inversen!![[wink]](/img/smilies/wink.gif)
AndersLkpg:
(f^(-1))^(-1)(x)=f(x)
f(f^(-1)(x))=f^(-1)(f(x))=x
Kan du bevisa detta? För nu är det ju bara en omskrivning, men man måste ju ha fått det någonstans..... 😐
dvärgkastarn:
AndersLkpg:
Nu får jag ryck på riktigt. Kan någon av er förklara för mig hur man kan göra på Anders sätt på uppgift 2?
"Använd formeln för derivatan av sammansatt funktion för att visa att Df^(-1)(x))= 1/{f'[f^(-1)(x)]}"
För om man utgår från att {f'[f^(-1)(x)]} = x som Anders gör senare i sin lösning, så blir det ju Df^(-1)(x))= 1/1 = 1
Alltså att Df^(-1) alltid är lika med 1! Och det stämmer ju inte alls!
NananaBATMAN:
Alltså att Df^(-1) alltid är lika med 1! Och det stämmer ju inte alls!
Naj, men Df^-1(f(x)) är däremot alltid 1. Det är lite svårt att uttrycka i vanlig text, men jag testar igen.
Vi säger att g(x) är en invers funktion av f(x)
Alltså:
f(g(x)) = x
Deriverar vi det får vi:
f'(g(x)) = x' = 1
Enligt kedjeregeln har vi:
f'(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)
Alltså:
f'(g(x)) * g'(x) = 1
Dividera båda sidor med f'(g(x)):
g'(x) = 1/f'(g(x))
NananaBATMAN:
Fråga
Formlerna i uppgift 1 är uttryck för definitionen av invers funktion. Formlerna måste därför inte bevisas.
NananaBATMAN:
Fråga
f(f^(-1)(x))≠f'(f^(-1)(x))
dvärgkastarn:
Deriverar vi det får vi:
f'(g(x)) = x' = 1
Då skulle du ju lika gärna kunna smälla upp den där från början och bara sätta in den i "Df^(-1)(x))= 1/{f'[f^(-1)(x)]}". Då det är lika med 1 så blir Df^(-1)=1/1 !!! 🙁
AndersLkpg:
f(f^(-1)(x))≠f'(f^(-1)(x))
Det var inte det jag syftade på, kolla vad jag skrev till dvärgkastarn nu
NananaBATMAN:
"Df^(-1)(x))= 1/{f'[f^(-1)(x)]}". Då det är lika med 1 så blir Df^(-1)=1/1 !!! 🙁
Naj, nu jämför du två olika uttryck. Det jag skrev var Df(g(x)), det du skriver är Dg(x).
