Forumet - Kombinatorik Mängdlära Matte 5/Madde Diskret

Kombinatorik Mängdlära Matte 5/Madde Diskret

858 0 3

Hej. jag har ett tal som jag undrar om det finns en särskild lösningsmetod till, eller om man endast utgår från huvudräkning/prova sig fram? 

En mängd innehåller n element.
För vilket värde på n är antalet delmängder med 4 element 6 gånger så stort som antalet delmängder med 2 element? 

vad jag förstår så vill jag veta när n över 4 är 6 gånger större än n över två.  Jag har prövat mig fram och fått 11 till svar. Men har ingen metod för det. 

Tacksam för svar. 

Inga kommentarer

Tråden har 3 svar. Sortera efter:

Uppgift

C(n, 4)=6∙C(n, 2), nЄN


Formler

n!=1∙2∙...∙(n-1)∙n, 0!=1!=1, nЄN

C(n, k)=n!/(k!∙(n-k)!)=1∙2∙...∙(n-1)∙n/(1∙2∙...∙(k-1)∙k∙1∙2∙...∙(n-k-1)∙(n-k))=(n-k+1)∙(n-k+2)∙...∙(n-1)∙n/(1∙2∙...∙(k-1)∙k), n, kЄN


Lösning

C(n, 4)=(n-3)∙(n-2)∙(n-1)∙n/(1∙2∙3∙4)=(n-3)∙(n-2)∙(n-1)∙n/24

C(n, 2)=(n-1)∙n/(1∙2)=(n-1)∙n/2

C(n, 4)=6∙C(n, 2)

(n-3)∙(n-2)∙(n-1)∙n/24=6∙(n-1)∙n/2=3∙(n-1)∙n

(n-3)∙(n-2)=24∙3=72

(n-6/2)∙(n-4/2)=(n-(5+1)/2)∙(n-(5-1)/2)=(n-(5/2+1/2))∙(n-(5/2-1/2))=(n-5/2-1/2)∙(n-5/2+1/2)=(n-5/2)²-(1/2)²=72

(n-5/2)²=(1/2)²+72=1²/2²+72=1/4+72=1/4+288/4=(1+288)/4=289/4

n-5/2=±√(289/4)=±√(289)/√4=±17/2

n=5/2±17/2=(5±17)/2=(5+17)/2=22/2=11


Kontroll

C(n, 4)=C(11, 4)=(11-3)∙(11-2)∙(11-1)∙11/24=8∙9∙10∙11/24=330

C(n, 2)=C(11, 2)=(11-1)∙11/2=10∙11/2=55

6∙C(n, 2)=6∙55=330=C(n, 4)


Länkar

http://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialkoefficient

http://sv.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)

http://sv.wikipedia.org/wiki/Kombination_(matematik)

http://sv.wikipedia.org/wiki/Permutation