Forumet - Linjär algebra

Linjär algebra

107 0 9
The curve y = ax^2 + bx + c passes trough the points (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Show that the coefficients a, b and c are a solution of the system of linear equations whose augmented matrix is:

[x1^2 x1 1 y1]
[x2^2 x2 1 y2]
[x3^2 x3 1 y3]

Gifted:


Hobgoblin:


Anderslpkg:

[x1^2 x1 1 y1]
[x2^2 x2 1 y2]
[x3^2 x3 1 y3]

Detta representerar alltså ekvationssystemet:

[x1^2 x1 1] [k1] = [y1]
[x2^2 x2 1] [k2] = [y2]
[x3^2 x3 1] [k3] = [y3]

Där du ska visa att kolumnvektorn med variablerna k1-k3 är a, b, c för att y ska bli y1, y2 resp y3. Detta bör du få fram genom att stoppa in dessa tal och genomföra matrismultiplikation. Då får du ju punkterna du beskrev, eftersom det bara är då systemet blir lösligt. Hmm, hoppas jag uppfattade din fråga rätt nu.
Ökänd:

Där du ska visa att kolumnvektorn med variablerna k1-k3 är a, b, c för att y ska bli y1, y2 resp y3. Detta bör du få fram genom att stoppa in dessa tal och genomföra matrismultiplikation. Då får du ju punkterna du beskrev, eftersom det bara är då systemet blir lösligt. Hmm, hoppas jag uppfattade din fråga rätt nu..


Vet inte jag, detta är nämligen en av de första uppgifterna jag gör inom detta. Men den enda informationen man har till godo i boken är metoden "elementary row operations" så jag antar att det har något med det att göra.

Spana också in:

sylar:

Vet inte jag, detta är nämligen en av de första uppgifterna jag gör inom detta. Men den enda informationen man har till godo i boken är metoden "elementary row operations" så jag antar att det har något med det att göra.


Du behöver nog inte göra några elementära radoperationer här alls. Jag ser inte riktigt vad det skulle ge i alla fall. Bli inte förvirrad av andragradstermerna eftersom systemet inte är ekvationer i x i detta fall, utan ett linjärt ekvationssystem i k där a, b, c är lösningarna. Dessutom behöver du bara visa att kolumnvektorn a, b, c är *en* lösning, så då kan du göra som jag beskrev.

[x1^2 x1 1] [k1] = [y1]
[x2^2 x2 1] [k2] = [y2]
[x3^2 x3 1] [k3] = [y3]

blir alltså

k1*x1^2 + k2*x1 + k3 = y1
k1*x2^2 + k2*x2 + k3 = y2
k1*x3^2 + k2*x3 + k3 = y3

och ja, om du stoppar in [a,b,c] så får du ju rätt ekvationer för kurvan som går genom de specificerade punkterna x1,y1, osv. [smile]
sylar:

Förstår inte riktigt vad det är du gör dock. Du lägger till variablerna k1, k2 och k3. Varför gör du detta?


Den utökade matrisen representerar hela ditt ekvationssystem, där de första tre kolumnerna i matrisen representerar koefficienterna i systemet, och kolumnen längst till höger är ditt högerled. Ta tex

[1 2 3 0]
[3 2 1 0]
[1 3 2 0]

Så representerar det
x1 + 2x2 + 3x3 = 0
3x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 + 3x2 + 2x3 = 0

Här utelämnas x1-x3 i matrisen. De finns där, men implicit, i form av kolumnvektorn [x1,x2,x3] som du multiplicerar koefficientmatrisen

[1 2 3]
[3 2 1]
[1 3 2]

med för att få

[0]
[0]
[0]

så att

[1 2 3][x1] = [0]
[3 2 1][x2] = [0]
[1 3 2][x3] = [0]

I ditt fall är koefficienterna i koefficientmatrisen inte 1, 2, 3...etc, utan x1^2, x1, x2 osv, bara för att förvirra koncepten litegrann. Lösningen ges av en kolumnvektor med variabler k1,k2,k3 (x är ju redan upptaget, så vi inför dessa istället) där värdena a,b,c på dessa motsvarar en lösning.

På den här sidan hittar du precis det jag har sagt, fast kanske lite bättre förklarat.
http://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix