Forumet - Maclaurinpolynom med resttermen på ordoform

Maclaurinpolynom med resttermen på ordoform

411 0 2
Håller på lite med gränsvärdesberäkningar mha maclaurinpolynom, och stött på ordo-uttrycket. Dock tycker jag att min bok är väldigt dålig på att förklara skillnaderna mellan stora och lilla o.

Vad är alltså skillnaderna mellan att skriva resttermen på formen O(x^n) respektive o(x^n)?

Vad jag förstått anger ordobeteckningen bara vilken "grad" resttermen har, t.ex. är o(x^2) + o(x^2) = o(x^2) osv. I ett maclaurinpolynom går väl alltid resttermen mot 0 då x går mot noll? Och den går alltid mot 0 snabbare än resten av polynomet, pga att den har högre gradtal?
Stort ordo O innebär ju att resttermen h(x) är begränsad i en omgivning av 0. Du har ju villkoret |h(x)| <= M|x^n| där.

Litet ordo är lite annorlunda i nollan; där har du:

h(0) = 0 och h(x)/x^n --> 0 då x---> 0.

Om h(x) = O(x^n) då x--->0 gäller även h(x) = o(x^{n-1}) då x--->0

Däremot gäller inte nödvändigtvis det omvända, dvs. om

h(x) = o(x^{n-1}) då x--->0 gäller, så är det inte säkert att resttermen är tillräckligt liten eller ens konvergent så att O(x^n) uppfylls.

För Maclaurin med resttermen R_{n+1} kan du uttrycka resttermen som O(x^{n+1}) eller som o(x^n) då x--->0. I en Maclaurinutveckling går resttermen mot noll då x-->0 eftersom den kan skrivas som Hn+1*x^{n+1}, där Hn+1 är en begränsad funktion i omgivningen till 0.