Forumet - Matematikhjälp

Matematikhjälp

491 0 5
AndersLkpg:

Jag kommer nog så småningom..


Nu är det så att jag ska skissa grafen till en ekvation, dvs en grafisk teckenstudie, och skulle därför behöva hjälp med att faktorisera ekvationen, till typ (x - z)(x - v) för att kunna hitta nollpunkterna. Kurvan är;
f(x) = 3 + |x - 3| - |2x - 22|

Det är främst absolutbeloppen som ställer till det, har inte arbetat med absolutbelopp inskrivna i ekvationer.

Spana också in:

jojOzZz:


Uppgift

f(x) = 3+|x-3|-|2x-22|

Lösning

Fall 1

x-3 < 0
2x-22 < 0

x-3 < 0
x < 0+3
x < 3

2x-22 < 0
2x < 0+22
2x < 22
x < 22/2
x < 11

x < 3
x < 11
x < 3

x-3 < 0
|x-3| = -(x-3)

|x-3| = -(x-3)
|x-3| = -x+3

2x-22 < 0
|2x-22| = -(2x-22)

|2x-22| = -(2x-22)
|2x-22| = -2x+22

f(x) = 3+|x-3|-|2x-22|
|x-3| = -x+3
|2x-22| = -2x+22
f(x) = 3+(-x+3)-(-2x+22)

f(x) = 3+(-x+3)-(-2x+22)
f(x) = 3-x+3+2x-22
f(x) = -x+2x+3+3-22
f(x) = x-16

f(x) = x-16
f'(x) = 1-16*0
f'(x) = 1-0
f'(x) = 1

f'(x) = 1
f''(x) = 0

f(x) = 0
f(x) = x-16
0 = x-16
0+16 = x
16 = x
x = 16

x < 3
x = 16
Omöjligt

Omöjligt
Ingen rot

x < 3
f(x) = x-16
f'(x) = 1
f''(x) = 0
Ingen rot

Fall 2

x-3 < 0
2x-22 ≥ 0

x-3 < 0
x < 0+3
x < 3

2x-22 ≥ 0
2x ≥ 0+22
2x ≥ 22
x ≥ 22/2
x ≥ 11
11 ≤ x

x < 3
11 ≤ x
Omöjligt

Omöjligt
Inget intervall
Ingen funktion
Ingen förstaderivata
Ingen andraderivata
Ingen rot

Inget intervall
Ingen funktion
Ingen förstaderivata
Ingen andraderivata
Ingen rot

Fall 3

x-3 ≥ 0
2x-22 < 0

x-3 ≥ 0
x ≥ 0+3
x ≥ 3
3 ≤ x

2x-22 < 0
2x < 0+22
2x < 22
x < 22/2
x < 11

3 ≤ x
x < 11
3 ≤ x < 11

x-3 ≥ 0
|x-3| = x-3

2x-22 < 0
|2x-22| = -(2x-22)

|2x-22| = -(2x-22)
|2x-22| = -2x+22

f(x) = 3+|x-3|-|2x-22|
|x-3| = x-3
|2x-22| = -2x+22
f(x) = 3+(x-3)-(-2x+22)

f(x) = 3+(x-3)-(-2x+22)
f(x) = 3+x-3+2x-22
f(x) = x+2x+3-3-22
f(x) = 3x-22

f(x) = 3x-22
f'(x) = 3*1-22*0
f'(x) = 3-0
f'(x) = 3 (x ≠ 3)

f'(x) = 3
f''(x) = 3*0
f''(x) = 0 (x ≠ 3)

f(x) = 0
f(x) = 3x-22
0 = 3x-22
0+22 = 3x
22 = 3x
22/3 = x
x = 22/3

21 < 22 < 24
21/3 < 22/3 < 24/3
7 < 22/3 < 8

7 < 22/3 < 8
x = 22/3
7 < x < 8

3 ≤ x < 11
7 < x < 8
Möjligt

Möjligt
x = 22/3

3 ≤ x < 11
f(x) = 3x-22
f'(x) = 3 (x ≠ 3)
f''(x) = 0 (x ≠ 3)
x = 22/3

Fall 4

x-3 ≥ 0
2x-22 ≥ 0

x-3 ≥ 0
x ≥ 0+3
x ≥ 3
3 ≤ x

2x-22 ≥ 0
2x ≥ 0+22
2x ≥ 22
x ≥ 22/2
x ≥ 11
11 ≤ x

3 ≤ x
11 ≤ x
11 ≤ x

x-3 ≥ 0
|x-3| = x-3

2x-22 ≥ 0
|2x-22| = 2x-22

f(x) = 3+|x-3|-|2x-22|
|x-3| = x-3
|2x-22| = 2x-22
f(x) = 3+(x-3)-(2x-22)

f(x) = 3+(x-3)-(2x-22)
f(x) = 3+x-3-2x+22
f(x) = x-2x+3-3+22
f(x) = -x+22

f(x) = -x+22
f'(x) = -1+22*0
f'(x) = -1+0
f'(x) = -1 (x ≠ 11)

f'(x) = -1
f''(x) = -0
f''(x) = 0 (x ≠ 11)

f(x) = 0
f(x) = -x+22
0 = -x+22
0-22 = -x
-22 = -x
-(-22) = -(-x)
22 = x
x = 22

11 ≤ x
x = 22
Möjligt

Möjligt
x = 22

11 ≤ x
f(x) = -x+22
f'(x) = -1 (x ≠ 11)
f''(x) = 0 (x ≠ 11)
x = 22

Intervall

x < 3
f(x) = x-16
f'(x) = 1
f''(x) = 0

3 ≤ x < 11
f(x) = 3x-22
f'(x) = 3 (x ≠ 3)
f''(x) = 0 (x ≠ 3)

11 ≤ x
f(x) = -x+22
f'(x) = -1 (x ≠ 11)
f''(x) = 0 (x ≠ 11)

Rötter

x[1] = 22/3
x[2] = 22

Teckenstudie

1/3 < 1
22*1/3 < 22*1
22/3 < 22

Fall 1

x < 22/3

21 < 22
21/3 < 22/3
7 < 22/3

x < 22/3
7 < 22/3

3 < 7
7 < 11
3 < 7 < 11

3 < 7 < 11
f(x) = 3x-22
f(7) = 3*7-22
f(7) = 21-22
f(7) = -1

f(7) = -1
-1 < 0
f(7) < 0

7 < 22/3
f(7) < 0
f(x) < 0

x < 22/3
f(x) < 0

Fall 2

22/3 < x < 22

22 < 24
22/3 < 24/3
22/3 < 8

22/3 < 8
8 < 22
22/3 < 8 < 22

22/3 < x < 22
22/3 < 8 < 22

3 < 8
8 < 11
3 < 8 < 11

3 < 8 < 11
f(x) = 3x-22
f(8) = 3*8-22
f(8) = 24-22
f(8) = 2

f(8) = 2
2 > 0
f(8) > 0

22/3 < 8 < 22
f(8) > 0
f(x) > 0

22/3 < x < 22
f(x) > 0

Fall 3

22 < x

22 < 23

22 < x
22 < 23

11 < 23
f(x) = -x+22
f(23) = -23+22
f(23) = -1

f(23) = -1
-1 < 0
f(23) < 0

22 < 23
f(23) < 0
f(x) < 0

22 < x
f(x) < 0

Resultat

x < 22/3
f(x) < 0

22/3 < x < 22
f(x) > 0

22 < x
f(x) < 0