Forumet - Matrishjälp.

Matrishjälp.

371 0 23
För vilka värden på k har följande ekvationssystem en lösning? För vilka k saknas lösningar och för vilka k har ekvationssystemet parameterlösning?

kx1 + 3x2 + x3 = k + 3
3x1 + kx2 = 4
6x1 + 2kx2 + x3 = 10

Gausselimination verkar bara ge ett för krångligt uttryck, och vi har inte gått igenom någonting annat.

Dock vet jag att det saknar lösningar om determinanten är 0.

det(A) = k² - 9. Saknar för k1 = -3, k2 = 3.

Hur kan jag gå vidare för att få fram när man har parameterlösning? Går det att använda determinanter, eller ska jag använda mig av inverser?

Det är gymnasiets kurs matematik breddning, och vi har precis börjat med matriser, så jag är inte särskilt insatt i det och skulle därför gärna vilja få lite tips! :)

Spana också in:

sylar:

Så du har börjat med matriser nu? : )


Ja, vi ville ha lite linjär algebra med i kursen, istället för att bara hålla på med problemlösning; det var så tråkigt. När vi jobbat oss igenom matriser tänkte vi försöka hinna med vektorer också.

sylar:

Jag ska börja läsa linjär algebra om någon vecka också.


Ah, okej :) Synd att du inte redan börjat, så att du kunde ge mig några tips angående den här uppgiften.
sylar:

Hmm, har ni inte gott om tid till att hinna? Jag menar, du läser ju matematik breddning nu i början av 3:an, så du har väl ett helt år att läsa den? Annars brukar man måste läsa E-matten också under 3:an.


Nej, vi läser klart den några veckor innan jul, så det är ganska ont om tid. Jo, E-kursen går nästa termin, men är ju färdig med den.
Kör Gausselimination. Det går snabbt när man är erfaren med det.
1. - 3.

Och sen (1. - 3.) - 2. så har du ju en fin ekvationssamling

Där 1. ,2., och 3. är de ursprungliga ekvationerna (första, andra, tredje).

För att hitta inversen till en 3x3 matris används ju liknande process ändå. Så om du inte vet inversen, kör Gauss
Nu läste jag också matte breddning, tror dock inte vi gick igenom det på samma sätt som ni. Vi koncentrerade oss mest på hur man använde matriser för transformation osv. inte så mycket för att lösa ekvationssystem.

HobGoblin:

det(A) = k² - 9. Saknar för k1 = -3, k2 = 3.


så kan du dock göra tror jag.

men:

HobGoblin:

Hur kan jag gå vidare för att få fram när man har parameterlösning? Går det att använda determinanter, eller ska jag använda mig av inverser?


vad jag är läst ang gausselimination så tror jag dock det är det du ska använda dig av. parametrlösningen får du fram genom att uttrycka de olika leden med hjälp av en parameter ex x1. men för att göra det lär du först ha gjort en gausselimination.

http://www.math.kth.se/~tek/matte2-02/anteckningar/avsnitt1.pdf
Iavhé aka Mad World:

vad jag är läst ang gausselimination så tror jag dock det är det du ska använda dig av. parametrlösningen får du fram genom att uttrycka de olika leden med hjälp av en parameter ex x1. men för att göra det lär du först ha gjort en gausselimination.


Mm, men har i stort sett bara haft en dubbellektion på det här, så jag ser inte riktigt hur det ska bli. Lust att lösa och förklara? Försökt med den sedan i torsdags nu och kommer inte mycket längre.
HobGoblin:

Sådär, nu har jag iaf delvis löst den :)

x1 = (k+4)/(k+3)
x2 = 1/(k+3)
x3 = 2

Nu måste jag bara hitta någonstans där det står om hur ett sådant här uttryck ska se ut när man har parameterlösning, exakt lösning samt saknar.


det står här:
http://www.math.kth.se/~tek/matte2-02/anteckningar/avsnitt1.pdf
:P

förstår dock inte hur du lyckas uttrycka de olika variablerna helt oberoende av varandra? visa gärna.

jag kom inte längre än såhär:

k-9 3-3k .0 = k-11
3 ....k .....0 =4
0 ....0..... 1 = 2

har aldrig gjort en gauseliminering förut så ingen aning om hur man ska gå vidare. men det här var rätt intressant iaf =)
Iavhé aka Mad World:

förstår dock inte hur du lyckas uttrycka de olika variablerna helt oberoende av varandra? visa gärna.


3x1 + kx2 = 4
kx1 + 3x2 + x3 = k + 3
6x1 + 2kx2 + x3 = 10

Kalla dem för A, B och C.

3, k, 0.. | 4
k, 3, 1.. | k+3
6, 2k, 1 | 10

Lägg till (-2)*A till C, samt (-k/3)*A till B.

3, k, 0.......... | 4
0, (9-k²)/3, 1 | 3-k/3
0, 0, 1.......... | 2

Gångra A med 1/3, samt lägg till (-1)*C till B.

1, k/3, 0........| 4/3
0, (9-k²)/3, 0 | 1-k/3
0, 0, 1.......... | 2

Gångra B med 3/(9-k²)

1, k/3, 0 | 4/3
0, 1, 0....| 1/(k+3)
0, 0, 1... | 2

Lägg till (-k/3)*B till A

1, 0, 0 | (k+4)/(k+3)
0, 1, 0 | 1/(k+3)
0, 0, 1 | 2

x1 = (k+4)/(k+3)
x2 = 1/(k+3)
x3 = 2
HobGoblin:

Lägg till (-2)*A till C, samt (-k/3)*A till B.


okej, aa. vad händer om k=0?
jag tror du då måste då göra en alternativ lösning för k=0

x1=4/3
x2=1
x3=2

för k=0

HobGoblin:

Gångra B med 3/(9-k²)


Det här fungerar inte med k=+-3 och om du testar en alternativ lösning med k=+-3 från början ser du att dessa är olösliga!
HobGoblin:

1, 0, 0 | (k+4)/(k+3)
0, 1, 0 | 1/(k+3)
0, 0, 1 | 2


Så mycket har jag förstått att den här lösningen förutsätter ett exakt svar. Alltså är ingen parameterlösning möjlig ifall det här är svaret. Lösningen är ju given.
HobGoblin:

x1 = (k+4)/(k+3)
x2 = 1/(k+3)
x3 = 2


för att det ska bli en parameterlösning så skulle det sett ut typ såhär:

1, 2, 0 | (k+4)/(k+3)
0, 0, 1 | 1/(k+3)
0, 0, 0 | 0

x1+2x2=(k+4)/(k+3)
x3=1/(k+3)

sätt x2=t ger

x1=(k+4)/(k+3)-2t
x2=t
x3=1/(k+3)

parameterlösning är alltså en lösning med oändligt många variationer, alla x2 ger ju ett värde på x1.
Iavhé aka Mad World:

mm, precis. då har man lärt sig något nytt iaf.


Japp. Dock tycker jag att den var lite overkill att ge oss efter två lektioner. Men som sagt, ändå lärorikt, på något sätt.

För övrigt, för att få fram parameterlösningen, stoppa in k=3 i ursprungsmatrisen och lös. För att få fram att den saknar lösning, stoppa in k=-3 i ursprungsmatrisen, och efter ett tag kommer en rad av det här utseendet att uppstå:

0, 0, 0 | a, där a är skilt från 0.

Detta är inte logiskt, och därför saknas lösningen.