Forumet - Några matematikuppgifter

Några matematikuppgifter

104 0 4
Någon som vet hur man får ut SGD (Största gemensamma divisor) för två stycken polynom med Euklides Algoritm?

Jag ska räkna ut ekvationen z^4 - 4z^3 + 24z^2 - 40z + 100 = 0

Tydligen så är en av metoderna att få ut SGD för både f'(z) och f(z)

---------------------

Vad blir resten vid division av 17^17 med 7?
sylar:

z^4 - 4z^3 + 24z^2 - 40z + 100 = 0


sylar:

SGD för både f'(z) och f(z)


sylar:

Euklides Algoritm


Uppgift:

f(z) = z^4-4z³+24z²-40z+100

Söks:

Alla komplexa rötter till ekvationen f(z) = 0

Metod:

Bestämning av SGD(f(z), f'(z)) genom Euklides algoritm och polynomdivision

Lösning:

f(z) = z^4-4z³+24z²-40z+100

f(z) = z^4-4z³+24z²-40z¹+100z^0

f'(z) =
4z^(4-1)-4*3z^(3-1)+24*2z^(2-1)-40*1z^(1-1)+100*0z^(0-1) =
4z³-12z²+48z¹-40z^0+0 =
4z³-12z²+48z-40*1 =
4z³-12z²+48z-40 =
4(z³-3z²+12z-10)

z-1
--------------------------------
z^4-4z³+24z²-40z+100 | z³-3z²+12z-10
-(z^4-3z³+12z²-10z)
--------------------------------
-z³+12z²-30z+100
-(-z³+3z²-12z+10)
--------------------------------
9z²-18z+90

Kvot:

z-1

Rest:

9z²-18z+90 = 9(z²-2z+10)

f(z) =
z^4-4z³+24z²-40z+100 =
(z³-3z²+12z-10)(z-1)+9z²-18z+90 =
(z³-3z²+12z-10)(z-1)+9(z²-2z+10)

z-1
--------------------------------
z³-3z²+12z-10 | z²-2z+10
-(z³-2z²+10z)
--------------------------------
-z²+2z-10
-(-z²+2z-10)
--------------------------------
0

Kvot:

z-1

Rest:

0

SGD(f(z), f'(z)) = z²-2z+10

z³-3z²+12z-10 =
(z²-2z+10)(z-1)+0 =
(z²-2z+10)(z-1)

f(z) =
z^4-4z³+24z²-40z+100 =
(z³-3z²+12z-10)(z-1)+9(z²-2z+10) =
(z²-2z+10)(z-1)²+9(z²-2z+10) =
(z²-2z+10)((z-1)²+9) =
(z²-2z+1-1+10)((z-1)²+9) =
((z-1)²+9)²

f(z) = 0

((z-1)²+9)² = 0
(z-1)²+9 = 0
(z-1)² = -9
z-1 =
±(√9)i =
±(√(3²))i =
±3i

z = 1±3i

Resultat:

z = 1±3i

Länkar:

http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm#Description_of_the_algorithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain
http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm#Generalization_to_Euclidean_dom...
http://en.wikipedia.org/wiki/Greatest_common_divisor_of_two_polynomials

sylar:

resten vid division av 17^17 med 7


Uppgift:

17^17

Söks:

Resten vid division av 17^17 med 7

Lösning:

17^17 =
(14+3)^17 =
(7*2+3)^17 =
(7*2+3)(7*2+3)...(7*2+3) =
(7*2)(7*2)...(7*2)+(7*2)(7*2)...(3)+...+(3)(3)...(3) =
7(...)+3^17

3¹ = 3 = 0+3 = 7*0+3
3² = 9 = 7+2 = 7*1+2
3³ = 27 = 21+6 = 7*3+6
3^4 = 81 = 70+11 = 70+7+4 = 7(10+1)+4 = 7*11+4
3^5 = 243 = 210+33 = 210+28+5 = 7(30+4)+5 = 7*34+5
3^6 = 729 = 700+29 = 700+28+1 = 7(100+4)+1 = 7*104+1
3^7 = 2187 = 2100+87 = 2100+70+17 = 2100+70+14+3 = 7(300+10+2)+3 = 7*312+3
3^8 = 3^(6+2) = 3^(6*1+2) = ... = 7(...)+2
3^9 = 3^(6+3) = 3^(6*1+3) = ... = 7(...)+6
...
3^17 = 3^(12+5) = 3^(6*2+5) = ... = 7(...)+5

17^17 =
7(...)+3^17 =
7(...)+7(...)+5 =
7(...)+5

Resultat:

Resten är 5

Spana också in: