Forumet - Partialbråksuppdelning

Partialbråksuppdelning

299 0 3
INT(x*dx / 3x^2 + 8x - 3)

Jag vet inte varför jag får annorlunda svar än facit fast jag har gjort ungefär likadant. Såhär har jag gjort.

Har plockat ut rötterna (x-1/3)(x+3) från nämnaren och skrivit det såhär.

x = A / (x-(1/3)) + B / (x+3)
<=>
x = A(x+3) + B(x-(1/3)) / (x-1/3)(x+3)
<=>
x = (A+B)x + (3A - (1/3)B)

Då borde det bli följande ekvationssystem...

[
A + B = 1
-1/3*A + 3B = 0
]

Men failcit har fått ekv.systemet
[A + 3B = 1
3A - B = 0]

Och den enda skillnaden är att de har använt (3x-1) istället för (x-(1/3)) (det är ju samma sak!). Jag vägrar använda samma sak som facit.

Hur kan detta vara fel?
sylar:

INT(x*dx / 3x^2 + 8x - 3)


sylar:

Partialbråksuppdelning


Dina och facits rötter till polynombråkets nämnare -- x = -3 och x = 1/3 -- är identiska och korrekta.

3x²+8x-3 = 0
x²+(8/3)x-1 = 0
x = -4/3±√((4/3)²-(-1))
x = -4/3±√(4²/3²+1)
x = -4/3±√(16/9+1)
x = -4/3±√(16/9+9/9)
x = -4/3±√(25/9)
x = -4/3±√(25)/√(9)
x = -4/3±5/3
x = -9/3 eller 1/3
x = -3 eller 1/3

Din ansats för polynombråkets partialbråk -- x = A/(x-1/3)+B/(x+3) -- är korrekt, förutom att vänsterledet ska divideras med (x-1/3)(x+3), och innebär att omskalning i efterhand måste ske, eftersom x/((x-1/3)(x+3)) = x/(((3x-1)/3)(x+3)) = 3x/((3x-1)(x+3)) = 3x/(3x²+8x-3) = 3(x/(3x²+8x-3)).

x/((x-1/3)(x+3)) = A/(x-1/3)+B/(x+3)
x/((x-1/3)(x+3)) = A(x+3)/((x-1/3)(x+3))+B(x-1/3)/((x+3)(x-1/3))
x/((x-1/3)(x+3)) = (A(x+3)+B(x-1/3))/((x+3)(x-1/3))
x = A(x+3)+B(x-1/3)

Ditt ekvationssystem för partialbråkens konstanter -- { A+B = 1, (-1/3)A+3B = 0 } -- är korrekt i relation till din ansats, förutom att koefficienterna för konstanterna A och B ska byta plats i den andra ekvationen.

x = Ax+3A+Bx-(1/3)B
x = (A+B)x+(3A-(1/3)B)
1 = A+B
0 = 3A-(1/3)B
A+B = 1
3A-(1/3)B = 0

A = 1-B
3(1-B)-(1/3)B = 0
3-3B-(1/3)B = 0
3+(-3-1/3)B = 0
3+(-9/3-1/3)B = 0
3+(-10/3)B = 0
(-10/3)B = -3
10B = 9
B = 9/10
A = 1-9/10
A = 10/10-9/10
A = 1/10

x/((x-1/3)(x+3)) = (1/10)/(x-1/3)+(9/10)/(x+3)
3(x/(3x²+8x-3)) = (1/10)/(x-1/3)+(9/10)/(x+3)
x/(3x²+8x-3) = ((1/10)/(x-1/3)+(9/10)/(x+3))/3
x/(3x²+8x-3) = ((1/10)/(x-1/3))/3+((9/10)/(x+3))/3
x/(3x²+8x-3) = (1/30)/(x-1/3)+(3/10)/(x+3)
x/(3x²+8x-3) = (1/30)/((3x-1)/3)+(3/10)/(x+3)
x/(3x²+8x-3) = (3/30)/(3x-1)+(3/10)/(x+3)
x/(3x²+8x-3) = (1/10)/(3x-1)+(3/10)/(x+3)

Facits troliga ansats för polynombråkets partialbråk -- x/(3x²+8x-3) = x/((3x-1)(x+3)) = A/(3x-1)+B/(x+3) -- är korrekt, och innebär att omskalning i efterhand inte måste ske.

x/((3x-1)(x+3)) = A/(3x-1)+B/(x+3)
x/((3x-1)(x+3)) = A(x+3)/((3x-1)(x+3))+B(3x-1)/((3x-1)(x+3))
x/((3x-1)(x+3)) = (A(x+3)+B(3x-1))/((3x-1)(x+3))
x = A(x+3)+B(3x-1)

Facits ekvationssystem för partialbråkens konstanter -- { A+3B = 1, 3A-B = 0 } -- är korrekt i relation till facits troliga ansats.

x = Ax+3A+3Bx-B
x = (A+3B)x+(3A-B)
1 = A+3B
0 = 3A-B
A+3B = 1
3A-B = 0

A = 1-3B
3(1-3B)-B = 0
3-9B-B = 0
3-10B = 0
-10B = -3
B = 3/10
A = 1-3(3/10)
A = 1-9/10
A = 10/10-9/10
A = 1/10

x/((3x-1)(x+3)) = (1/10)/(3x-1)+(3/10)/(x+3)
x/(3x²+8x-3) = (1/10)/(3x-1)+(3/10)/(x+3)

∫((x/(3x²+8x-3))dx) = ∫(((1/30)/(x-1/3)+(3/10)/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = ∫(((1/30)/(x-1/3))dx)+∫(((3/10)/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)∫((1/(x-1/3))dx)+(3/10)∫((1/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|x-1/3|)+(3/10)(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|(3x-1)/3|)+(3/10)(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|3x-1|/3)+(3/10)(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)(ln(|3x-1|)-ln(3))+(3/10)(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|3x-1|)-(1/30)ln(3)+(3/10)(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|3x-1|)+(3/10)(|x+3|)+(C-(1/30)ln(3)), där C är en godtycklig reell konstant
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|3x-1|)+(3/10)(|x+3|)+D, där D är en godtycklig reell konstant

∫((x/(3x²+8x-3))dx) = ∫(((1/10)/(3x-1)+(3/10)/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = ∫(((1/10)/(3x-1))dx)+∫(((3/10)/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/10)∫((1/(3x-1))dx)+(3/10)∫((1/(x+3))dx)
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/10)ln(|3x-1|)/3+(3/10)ln(|x+3|)+C
∫((x/(3x²+8x-3))dx) = (1/30)ln(|3x-1|)+(3/10)ln(|x+3|)+C, där C är en godtycklig reell konstant