Forumet - Polynom i kropp

Polynom i kropp

85 0 3
Någon som kan förklara hur de fått polynomet x^4+1 till följande faktorer i Z3[x]?

x^4+1 = (x^2+x+2)(x^2+2x+2)

Så vitt jag ser det så har varken x=0, x=1 eller x=2 en lösning för kroppen Z3[x], eftersom:

x = 0 ger
(0^4+1 = 1) # 0 (mod 3)

x=1 ger
(1^4+1 = 2) # 0 (mod 3)

x=2 ger
(2^4+1 = 17) # 0 (mod 3)

Har fastnat ganska rejält på grund av att de tagit detta exempel på en hemsida (förvisso bra, då det bevisar att jag gör något fel)
HobGoblin:

x^4+1 = (x^2+x+2)(x^2+2x+2)

Lösningarna x1=x2 = -i; x3=x4 = i =>

x1x2 = (x+i)^2 = x^2 + 2xi - 1
x3x4 = (x-i)^2 = x^2 - 2xi - 1

Så det borde väl bli (x^2 + 2xi - 1)(x^2 - 2xi - 1)?

(Eller missuppffattade jag frågan? [blush])


Jo tyvärr, man ska räkna i modulo 3. Diskret matematik : /

Om jag inte har fel så innebär Z3 mängden {0,1,2}. Så x får enbart ha värdena 0,1,2. Det konstiga är att enligt vad jag får fram så är ingen av dessa x-värden kongruent modulo 3. Enligt författarna av den där PDF-filen så påstår de att man kan dela upp polynomet till två polynomfaktorer (x^2+x+2)(x^2+2x+2)