Forumet - Potensfunktioner, derivator och ekvationer från tangenter

Potensfunktioner, derivator och ekvationer från tangenter

1476 0 28
Jag behöver lite snabb hjälp med ett tal som jag inte kan få en ordentlig numerisk lösning till, och jag förstår inte varför.

Jag ska bestämma ekvationen för en tangent till kurvan y = x + (4/x). Tangeringspunkten är x=2 y=4.

Image

Om man ritar ut grafen så blir det enkelt att se att riktningskoefficenten för tangenten är 0, men jag lyckas inte få 0 genom min uträkning. Vad gör jag fel?

y = x + (4/x)
y' = 1 - 4x^(-4)
y'(2) = 1 - 4 * 2^(-4) = 0.75

Spana också in:

Ursäkta för dubbelposten, men nu är det en potens som jävlas igen. Jag ska derivera följande:
y = 6 + 4e^(x/3)

Jag, med min ytterst begränsade förståelse för potenser, får det till:
y' = (4/3) * ℯ^(x/3)

Vilket är brutalt fel, då det ska bli:
y' = 2ℯ^(x/3)

Någon som kan förklara för mig vad jag gör fel, och hur jag bör göra för att det ska bli rätt i fortsättningen?
Eh, ursäkta för dubbelposten, på riktigt den här gången.

Enligt Anderslkpg (som f.ö. är UMs mest hjälpsamme medlem) så hade jag helt rätt på den förra uppgiften. Hah! In your face, facit! [no-no]

Hur som helst, nu har jag ett nytt problem. Den här gången ska jag bestämma H'(0), om H(t) = 5 + 25ℯ^(-1,6t).

Det blir ju bara fel och dåligt. Jag förstår inte ens hur jag ska derivera det ordentligt. Jag får bara -40ℯ^(1,6t), och sedan går allt åt pipsvängen. [shake]
Åtta:

Hur som helst, nu har jag ett nytt problem. Den här gången ska jag bestämma H'(0), om H(t) = 5 + 25ℯ^(-1,6t).


Du måste ha kollat fel i facit igen, eftersom du har rätt igen (ok, du glömde ett minustecken)

H'(t) = -1.6*25e^(-1.6t)

Du kan kolla detta med kedjeregeln: f'(g(t)) * g'(t)

Sätt:
f(t) = e^t <=> f'(t) = e^t
g(t) = -1.6t <=> g'(t) = -1.6

Med kedjeregeln så fås då:
25*e^(-1.6t) * -1.6

Stoppa bara in 0 i H'(x) så får du ditt värde.
XMinGrönaLampaÄrDödX:

Läste "potens" och blev helt till mig över att få läsa om din potens, men det var ju inte alls lika kul som jag trodde. [sad][sad]


Well, det är finns ju ett visst samband mellan derivata och potens också.

Åtta:

Då får jag -40, medan facit påstår att svaret ska bli 40. Är det jag eller facit som har fel?


Låter underligt. Jag ser inget fel i talet.

edit:
Det råkar inte vara en sådan där uppgift då man ska svara hur mycket något ökar och minskar i text? För jag har stött på uppgifter där de skriver exempelvis "Produktionen minskar med 40" när man får ut -40.
sylar:

Facit har fått fnatt.


Ska söka upp Lars-Eric Björk, Hans Brolin, och Roland Munther och läxa upp dem. [no-no]

Nu kan ni få den stora äran att förklara för mig hela grejen med att byta bas till ℯ för att uttrycka derivatan av a^x.

(Notera att i citatet nedan så ska ℯ i "logᵉ" vara nedsänkt, men jag kunde inte hitta den funktionen i datorn)
Boken:

Hur deriverar vi t.ex. y = 7^x? Svaret är att vi byter till basen ℯ så här:
Om 7 = ℯ^z så är z = logᵉ7 d.v.s. ℯ^logᵉ7.

logᵉ7 skrivs ln 7 och kallas den naturliga logaritmen.

y = 7^x = (ℯ^(ln 7 * x))^x = ℯ^(ln 7 * x)
y' = ℯ^(ln 7 * x) * ln 7 = 7^x * ln 7

På samma sätt visas att
y = a^a har derivatan y' = a^x * ln a
(y = a^kx har derivatan y' = a^(kx) * ln a * k


Det säger mig verkligen ingenting. När har man användning för det, och hur fungerar det egentligen?

T.ex. så skulle jag skriva ett gäng likheter i logaritmform.
3^4 = 81
Svaret blev då 4 = log₃ 81
Varför? Och ... hur? Och varför i hela världen skulle man vilja göra det?
Okej, glöm det där om varför man skulle vilja använda det. Jag kom just ihåg att logaritmer kan vara ganska användbara ibland, och nu när jag kom lite längre på kapitlet så hittade jag några exempel på när de är ypperliga att ha till hands. Dock får ni gärna förklara hur allt hänger ihop, och vad bokens förklaring egentligen betydde.

XMinGrönaLampaÄrDödX:

Blir ledsen för att jag inte förstår. [sad]


Derivator handlar om förändringar och förändringshastigheter. Potens involverar ju en del förändringar. [rolleyes]

XMinGrönaLampaÄrDödX:

men inte särskilt mycket om din potens. [no-no]


Har du redan glömt bort när jag kom till dig för att gråta ut efter att min... eh... Derivata, hade svikit mig? [blush]
Jag känner mig så dålig. [sad]

Hur ska jag skriva följande tal som potenser i exakt form med baserna 10 och ℯ?
2^t
5^x
2^-x
3^-t
4^2t
2^(-x/12)

De två första är exakt likadana, så när jag väl listat ut en så är den andra inget problem. Problemet är bara att jag inte förstår hur 2^t kan bli 10^(t lg 2) och/eller e^(t ln 2). Hur är det tänkt att jag ska lista ut det?

De två nästföljande misstänker jag är exakt likadana, om än negativa istället för positiva.

Den näst sista har jag ingen aning, men jag antar att även den är likadan.

Och den sista har jag absolut ingen aning om hur jag ska lösa.

[cry]