Forumet - Utföra bevis för talföljd

Utföra bevis för talföljd

122 0 8
A1 = 4
An+1 = 3An - 2

där n = 1,2,3,4,...

Visa med ett induktionsbevis att den kan beskrivas med den slutna formeln An = 3^n + 1

-----------------------------

Hur ska man tänka på dessa induktionsbevis? Jag har ett exempel som utför det på en lite enklare rekursionsformel: an+1 = an + 4

a1 = 5

Då behöver man bara skriva det som:

an = 5 + 4(n-1)

Antar att det är för att de tar det första elementet och multiplicerar fyra med alla element upp till n-1.
sylar:

A1 = 4
An+1 = 3An - 2

där n = 1,2,3,4,...

Visa med ett induktionsbevis att den kan beskrivas med den slutna formeln An = 3^n + 1


Uach, håller med Myksa. Men vi kan väl göra ett litet tappert försök i alla fall!

Du vet ju att An+1 = 3An-2 gäller för alla n. Däremot vet du bara att An=3^n+1 gäller för n=1 (stoppa in A1 och kolla).

Ponera nu att An = 3^n + 1 gäller för p=n-1. Du vet inte, men du gör ansatsen. Stoppa in p i An = 3^n + 1:

An-1 = 3^(n-1)+1 = (3^n)/3 + 1

Satisfierar detta An+1 = 3An - 2 (som ju gäller för alla n) då p=n-1?

Stoppa in och kolla:

Ap+1 = 3Ap - 2 = An = 3An-1 - 2 = 3*(3^n)/3 + 1 = 3^n + 1

Då du stoppar in din ansats får du alltså att om An = 3^n + 1 är giltigt för n-1, så gäller även sambandet An = 3^n + 1, dvs nästa heltal i serien. Eftersom n är ett godtyckligt positivt heltal och redan gäller för tex n=1, så gäller det för alla andra heltal också - du har ett fall där du vet att det stämmer, och du har visat att det stämmer för nästa heltal, och om det stämmer för nästa heltal så stämmer det på talet därefter osv...induktion.

Eh, ja, jag tror att det är så man ska tänka iaf. Ungefär. :)

Spana också in:

Ökänd:

Eh, ja, jag tror att det är så man ska tänka iaf. Ungefär. :)


Bra idé. Som vanligt stirrade jag mig blind på att de skulle förklara precis hur man gör i boken. Man måste tänka utanför lådan när man räknar verkar det som [rolleyes]

Ökänd:

Då du stoppar in din ansats får du alltså att om An = 3^n + 1 är giltigt för n-1, så gäller även sambandet An = 3^n + 1, dvs nästa heltal i serien...


Visst stoppar du helt enkelt in och kollar ifall det blir samma mönster för det föregående värdet? Typ som induktionsaxiomet.
sylar:

Visst stoppar du helt enkelt in och kollar ifall det blir samma mönster för det föregående värdet? Typ som induktionsaxiomet.


Ja, man har ju samband A som man vet alltid gäller, för alla n. [smile] Sedan gör man antagandet att samband B som man vill bevisa gäller för p = n-1. Därefter tillämpar man sitt antagande för samband B på samband A, och får som resultat att om samband B gäller för p=n-1, så gäller det även för p=n, tack vare samband A. Sedan har man A1 som befäster att sambandet B gäller för alla n.

Induktionen innebär bara att man ska visa att om något gäller för ett godtyckligt n-1 så gäller det också för n, förutsatt att man känner till minst en länk i kedjan (i detta fall A1). På så vis kan man dra slutsatsen att det gäller för alla n eftersom "n" kan vara n, n-1, n-2...osv. Så har jag tolkat det iaf. [smile]

Jag vet inte om det besvarade din fråga, men det är bara att tjoa till annars.