Forumet - Volymintegral

Volymintegral

931 0 12
Thread:

Bestäm volymen av den kropp som uppstår då y = (sqrt(x))*e^-x roterar kring x-axeln för x>=0.


Förstår inte riktigt vad man ska göra på denna. Det finns inga integrationsgränser, så jag antar att man ska räkna ut dem själv. Gör man det däremot så blir den övre gränsen oändlig, eftersom funktionen 'y' inte går mot y=0 förrän x går mot oändligheten.

Har inget facit whatsoever på denna uppgift heller : /
Integrera till oändligheten då. Sådana integraler borde finnas färdiguträknade i mathematics handbook eller wikipedia eller vartsomhelst på nätet. Tänk på att en funktion som t.ex. e^-(x^2) integrerat från -inf till inf har ett definit värde, nämligen pi (eller om det var pi/2, minns inte riktigt). Detta bara för att ge ett exempel på vad jag menar med att det inte är farligt att integrera dämpade e-funktioner till oändligheten, för den resulterande integralen blir hursomhelst begränsad och e^-inf=0.

Mitt tips är att du transformerar till cylindriska koordinater och tar det därifrån. Är tyvärr lite för lat för att orka forska djupare i den exakta lösningen, men kanske fick du lite hjälp på traven iaf.
Oj, misstag från min sida. Det är ingen volymintegral utan arean under kurav som vanligt.

Jag integrerade till oändligheten på ett prov, men det var tydligen fel. Alltså följande integral:

INT(sqrt(x)/e^x) (med integrationsgränserna 0 till oändligheten)

Vad innebär det att räkna ut en integral som går mot oändligheten egentligen? Om man har exempelvis INT(4dx) som går från 0 till oändligheten, vad är då svaret så att säga? Tar man F(oändligheten) - F(0) som vanligt?
sylar:

INT(sqrt(x)/e^x)


Att räkna ut en integral som går till oändligheten innebär precis som vanligt att du räknar ut arean under kurvan. För att en integral vars integrationsgränser sträcker sig till oändligheten överhuvudtaget skall vara meningsfull, måste funktionen du integrerar gå mot noll i oändligheten. Annars får integralsumman ett oändligt stort värde och det är förstås dåligt. Funktionen e^-x = 0 då x= inf, vilket är utmärkt. Primitiven till e^-x är -e^-x och om du stoppar in gränserna 0 och inf så får du F(inf)-F(0)= -1-0 = -1.

Om du däremot integrerar konstanten 4 från 0 till inf, så får du en oändlig integralsumma. Ty funktionen 4 är inte 0 i inf utan 4 i inf.

Vad gäller den söta lilla integralen du har ovan, så kan du t.ex. substituera med x=s^2. Då får du en integral som ser ut som INT(2*s^2*e^-(s^2)), mellan 0 och inf. Nu vet du att det finns ett bevis som säger att INT(e^-x^2) mellan -inf och inf är sqrt(pi). Bland annat hittar man beviset, och en hel del till, här:

http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/ExpIntegrals.htm

Du ser att man där kommer fram till att I(a) = INT (e^(-ax^2)) mellan -inf och inf är lika med sqrt(pi/a). På motsvarande vis får de fram att INT (x^2*e^(-ax^2)) mellan -inf och inf är (1/2a)*sqrt(pi/a). Du vill ha exakt samma integral med a=1 fast med integrationsgränser 0->inf istället. Men som du ser av matlabplotten på sidan jag hänvisade till, så är integranden symmetrisk runt x=0, så då delar du bara resultatet med 2. Sedan multiplicerar du med 2 igen pga substitutionsresterna. Alltså bör du få ett resultat som liknar

(1/2)*sqrt(pi)

Med reservation för diverse konstanter och skalfel eftersom jag verkligen inte precis lusläst min egen back-of-the-envelope-slafslösning nu. Men man borde kunna göra nåt liknande och ditt slutresultat bör innehålla något pi-aktigt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - Sammanslagning 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -


Edit: Jag har undersökt saken lite mer och det verkar som om jag inte var helt fel ute ändå.

Spana också in:

Ökänd:

Bland annat hittar man beviset, och en hel del till, här:


Yupp, så om du (sylar) har läst flervariabelanalys så förstår du den delen.

sylar:

Bestäm volymen


Annars, om du är gymnasieelev (med undantag för mattelinjen, eller om du är matematikbegåvad), så är rotationsvolymfrågan mkt lättare. Och kan lösas lätt mha gymnasiematte :P
Ökänd:

Att räkna ut en integral som går till oändligheten innebär precis som vanligt att du räknar ut arean under kurvan. För att en integral vars integrationsgränser sträcker sig till oändligheten...


Tack för hjälpen, ska kika på det där lite mer.

myspip:

Yupp, så om du (sylar) har läst flervariabelanalys så förstår du den delen.


Hehe nej du. Jag läste precis klar vanliga analysen.
HobGoblin:

Har jag inte skickat dig lösningsmanualen till alla uppgifter i Calculus Sylar? :o


Jo, de är jättebra. Fast det här är någon uppgift från någon gammal tenta utan facit : /

xandas:

Gränserna är 0 till oo

V = int[pi*y^2*dx] = int[pi*x*e^(-x^2)dx]

sätt u=e^(-x^2); du=-2x*e^(-x^2)

int [-pi/2*e^u*du] = -pi/2*e^u = -pi/2*e^(-x^2)

sätt in gränserna 0 och oo => int = pi/2


Aha ok, så det där därför man vill ha e^x där..