puckoboll:
Uppgift
f(x) = -x²-4x+12
Lösning 1
f(x) = -x²-4x+12
f(x) = -x²-4x+12
f(x) = -(x²+4x)+12
f(x) = -(x²+4x)-4+4+12
f(x) = -(x²+4x+4)+4+12
f(x) = -(x²+4x+4)+16
f(x) = -(x+2)²+16
(x+2)² = 0 för x+2 = 0
(x+2)² > 0 för alla x+2 ≠ 0
(x+2)² = 0 för x+2 = 0
-(x+2)² = -0 för x+2 = 0
-(x+2)² = 0 för x+2 = 0
-(x+2)² = 0 för x+2 = 0
-(x+2)² = 0 för x = 0-2
-(x+2)² = 0 för x = -2
-(x+2)² = 0 för x = -2
-(x+2)²+16 = 0+16 för x = -2
-(x+2)²+16 = 16 för x = -2
f(x) = -(x+2)²+16
-(x+2)²+16 = 16 för x = -2
f(x) = 16 för x = -2
f(x) = 16 för x = -2
f(-2) = 16
(x+2)² > 0 för alla x+2 ≠ 0
-(x+2)² < -0 för alla x+2 ≠ 0
-(x+2)² < 0 för alla x+2 ≠ 0
-(x+2)² < 0 för alla x+2 ≠ 0
-(x+2)² < 0 för alla x ≠ 0-2
-(x+2)² < 0 för alla x ≠ -2
-(x+2)² < 0 för alla x ≠ -2
-(x+2)²+16 < 0+16 för alla x ≠ -2
-(x+2)²+16 < 16 för alla x ≠ -2
f(x) = -(x+2)²+16
-(x+2)²+16 < 16 för alla x ≠ -2
f(x) < 16 för alla x ≠ -2
f(-2) = 16
f(x) < 16 för alla x ≠ -2
(-2,16) globalt maximum
(-2,16) globalt maximum
Resultat
(-2,16) globalt maximum
Lösning 2
f(x) = -x²-4x+12
f(x) = -x²-4x+12
f(x) polynom i x
f(x) polynom i x
f(x) deriverbar oändligt antal gånger för alla x
f(x) kontinuerlig för alla x
f'(x) kontinuerlig för alla x
f''(x) kontinuerlig för alla x
f(x) = -x²-4x+12
f'(x) = -2x-4+0
f'(x) = -2x-4
f'(x) = 0
f'(x) = -2x-4
0 = -2x-4
0+4 = -2x
4 = -2x
-2 = x
x = -2
f'(x) = 0
x = -2
f'(x) = 0 för x = -2
f'(x) = 0 för x = -2
f'(-2) = 0
f'(x) < 0
f'(x) = -2x-4
-2x-4 < 0
-2x < 0+4
-2x < 4
x > -2
f'(x) < 0
x > -2
f'(x) < 0 för alla x > -2
f'(x) > 0
f'(x) = -2x-4
-2x-4 > 0
-2x > 0+4
-2x > 4
x < -2
f'(x) > 0
x < -2
f'(x) > 0 för alla x < -2
f'(x) = -2x-4
f''(x) = -2+0
f''(x) = -2
f''(x) = -2
f''(x) = -2 för alla x
f''(x) = -2 för alla x
f''(x) < 0 för alla x
f(x) deriverbar oändligt antal gånger för alla x
f(x) kontinuerlig för alla x
f'(x) kontinuerlig för alla x
f''(x) kontinuerlig för alla x
f'(-2) = 0
f'(x) > 0 för alla x < -2
f'(x) < 0 för alla x > -2
f''(x) < 0 för alla x
(-2,f(-2)) globalt maximum
f(x) = -x²-4x+12
x = -2
f(-2) = -(-2)²-4(-2)+12
f(-2) = -2²+4*2+12
f(-2) = -4+8+12
f(-2) = 16
(-2,f(-2)) globalt maximum
f(-2) = 16
(-2,16) globalt maximum
(-2,16) globalt maximum
Resultat
(-2,16) globalt maximum