HobGoblin:

Σ (2^(3n))/(n+1)!

HobGoblin:

n går mot oändligheten

2^(3n)/(n+1)!=
2^(3n+3-3)/(n+1)!=
2^(3n+3)*2^(-3)/(n+1)!=
2^(-3)*2^(3n+3)/(n+1)!=
(1/2³)2^(3(n+1))/(n+1)!=
(1/2³)(2³)^(n+1)/(n+1)!=
(1/8)8^(n+1)/(n+1)!

Σ[n=0,∞](2^(3n)/(n+1)!)=
Σ[n=0,∞]((1/8)8^(n+1)/(n+1)!)=
(1/8)Σ[n=0,∞](8^(n+1)/(n+1)!)=
(1/8)Σ[n=1,∞](8^n/n!)=
(1/8)(Σ[n=0,∞](8^n/n!)-8^0/0!)=
(1/8)(e^8-1/1)=
(1/8)(e^8-1)=
(e^8-1)/8

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series#Factorial_denominators

Tack! 🙂

AndersLkpg:

Om jag ska bevisa följande

if a{n} > 0 and Σa{n} converges, then Σ(a{n})² converges,

kan jag då använda mig av ratio-testet som säger att om

0 < lim{n->∞}(a{n+1})/(a{n}) < 1

är talföljden a{n} konvergent, för om

0 < lim{n->∞}(a{n+1})/(a{n}) < 1

måste ju även detta leda till att

0 < lim{n->∞}[(a{n+1})/(a{n})]² < 1, och Σ(a{n})² konvergerar?

Duger det som bevis? 🙂

HobGoblin:

Duger det som bevis?

Det är en korrekt och bevisvärdig argumentation att giltighet av d'Alemberts kvotkriterium för konvergens för en matematisk serie implicerar konvergens för denna serie, giltighet av d'Alemberts kvotkriterium för konvergens för dess termvis kvadrerade serie, och konvergens för dess termvis kvadrerade serie.

Denna uppgift förutsätter dock inte giltighet av d'Alemberts kvotkriterium för konvergens för en matematisk serie, och därför kan tyvärr inte denna argumentation tillämpas för att implicera konvergens för dess termvis kvadrerade serie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

Okej Något annat tips på hur man bevisar det då? 🙂

HobGoblin:

Något annat tips på hur man bevisar det då?

Det är möjligt att tillämpa direktjämförelsekriteriet för konvergens för en matematisk serie.

Σ[n≥0](a[ n]) konvergent och a[ n]>0,n≥0

a[ n]>0,n≥0→a[ n]²>0,n≥0
a[ n]²>0,n≥0→Σ[n≥0](a[ n]²)>0
a[ n]>0,n≥0→a[ n]a[p]>0,n≥0,p≥0,n<p
a[ n]a[p]>0,n≥0,p≥0,n<p→Σ[n≥0,p≥0,n<p](a[ n]a[p])>0
Σ[n≥0,p≥0,n<p](a[ n]a[p])>0↔2Σ[n≥0,p≥0,n<p](a[ n]a[p])>0

(Σ[n≥0](a[ n]))²=
Σ[n≥0](Σ[p≥0](a[ n]a[p]))=
Σ[n≥0,p≥0](a[ n]a[p])=
Σ[n≥0](a[ n]²)+Σ[n≥0,p≥0,n≠p](a[ n]a[p])=
Σ[n≥0](a[ n]²)+2Σ[n≥0,p≥0,n<p](a[ n]a[p])>
Σ[n≥0](a[ n]²)

Σ[n≥0](a[ n]) konvergent och a[ n]>0,n≥0→Σ[n≥0](a[ n]) absolutkonvergent
Σ[n≥0](a[ n]) absolutkonvergent och a[ n]²>0,n≥0 och a[ n]a[p]>0,n≥0,p≥0,n<p→(Σ[n≥0](a[ n]))² absolutkonvergent
(Σ[n≥0](a[ n]))²>Σ[n≥0](a[ n]²)↔Σ[n≥0](a[ n]²)<(Σ[n≥0](a[ n]))²
(Σ[n≥0](a[ n]))² absolutkonvergent och Σ[n≥0](a[ n]²)<(Σ[n≥0](a[ n]))²→Σ[n≥0](a[ n]²) absolutkonvergent
Σ[n≥0](a[ n]²) absolutkonvergent→Σ[n≥0](a[ n]²) konvergent

Σ[n≥0](a[ n]²) konvergent

http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_convergence
http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_test

Tråden låst på grund av inaktivitet